Editorial au 01/01/2023 ..La gravitation quantique à boucles

L’excellente revue française Futura-sciences vient de publier un article en ligne précisant le concept encore obscur pour certains de gravitation quantique à boucles.

On le trouve à l’adresse ci-dessous
https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/physique-gravitation-quantique-boucles-8832/

Nous avons demandé à Futura-sciences l’autorisation de le republier sous une forme plus scolaire. On le trouvera ici .

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Abhay Ashtekar est l’un des découvreurs et des pionniers fondateurs de la gravitation quantique à boucles, l’une des principales voies explorées pour résoudre avec la mécanique quantique les mystères livrés par la théorie de la relativité générale lorsqu’on l’applique aux trous noirs et au Big Bang. Futura a eu l’occasion de l’interviewer lorsqu’il s’est rendu à un symposium organisé par la Fondation Archimedes.SIE en octobre 2022, à Saint-Raphaël. C’est aussi l’occasion de présenter un peu la cosmologie quantique à boucles.

Abhay Ashtekar est directeur de l’Institute for Gravitation and the Cosmos à l’Université d’État de Pensylvanie aux États-Unis, l’un des découvreurs et des pionniers fondateurs de la gravitation quantique à boucles, notamment avec ses collègues Carlo Rovelli et Lee Smolin.

Il a passé sa thèse avec Robert Geroch, un des grands noms des développements modernes de la théorie de la relativité générale des années 1960 à 1970, lui-même ancien thésard de John Wheeler, le directeur de thèse de Richard Feynman, et l’un des pionniers du renouveau de la théorie de la gravitation relativiste d’Einstein pendant cette période.

Les cours de Robert Geroch sur la relativité générale et la géométrie différentielle, par leur profondeur conceptuelle et leur accessibilité pour le débutant ayant entendu parler des découvertes de Stephen Hawking et Roger Penrose, peuvent être comparés à ceux, mondialement célèbres, de Richard Feynman en physique.

On explique souvent qu’une théorie de gravitation quantique se propose de combiner la théorie de la relativité générale — décrivant un espace-temps qui peut se courber et se déformer comme un tissu élastique dans l’infiniment grand — avec les lois de la mécanique quantique qui furent découvertes quand on a cherché à comprendre le monde des atomes, et comment ils pouvaient absorber et émettre de la lumière, par exemple lorsque l’on chauffe du métal dans un four — c’est précisément ce qui donne le spectre du corps noir, un spectre universel pour le rayonnement d’un corps chaud à l’équilibre thermique.

Une théorie quantique de la gravitation est certainement un des graals de la physique moderne sur laquelle Niels Bohr  et Albert Einstein avaient sûrement des avis divergents. Bien qu’absolument fascinante, une exposition des idées d’une telle théorie et les raisons, qui ont fait que des chercheurs comme Abhay Ashtekar ont dédié une partie de leur vie à cette quête, ne sont sans doute pas immédiatement accessibles. Mais Futura a eu la chance de l’interviewer lors d’un symposium organisé par la Fondation Archimedes.SIE en octobre 2022, à Saint-Raphaël.

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Il existe plusieurs voies possibles pour construire une théorie quantique de la gravitation et percer avec elle les énigmes du Big Bang et des trous noirs.

Abhay Ashtekar est donc, comme on l’a dit, à l’origine d’une de ces voies :  la gravitation quantique à boucles.

Pour aider le grand public à aller tout de suite au cœur de la question avec lui, il est peut-être utile de commencer par faire une analogie entre les premiers travaux sur la physique quantique et ceux sur la gravitation quantique.

Pour cela, on peut expliquer qu’il y a plus d’un siècle, lorsque les physiciens classiques ont cherché à comprendre les atomes avec les lois de la physique qu’ils connaissaient, ils devaient en conclure que les atomes n’étaient pas stables et que les électrons tournant autour des noyaux devaient s’effondrer sur eux en donnant donc une matière très dense.

Mais les lois de la mécanique quantique gouvernées notamment par la célèbre  équation de Schrödinger  stoppent cet effondrement et expliquent finalement toutes les propriétés des atomes.

Cette équation gouverne dans le cas d’une particule ce que l’on appelle sa fonction d’onde qui décrit dans l’espace la probabilité pour la particule de se retrouver dans un état mesurable en un point. Il existe, en effet, une onde de matière similaire à une onde lumineuse pour un grain de lumière, un photon. Plus généralement, la fonction d’onde décrit l’ensemble des valeurs d’un système quantique, pas nécessairement sous la forme d’une sorte d’onde ou de particule classique, que l’on peut attribuer à ce système lors d’une mesure dont les valeurs sont gouvernées par des probabilités — le concept de fonction d’onde est en fait beaucoup plus subtil que l’aperçu partiel que donnent ces explications.

Or on a découvert plus tard, grâce aux travaux conjoints des prix Nobel de Physique Subrahmanyan Chandrasekhar et Roger Penrose que des étoiles suffisamment massives en fin de vie, ayant épuisé leur carburant nucléaire, devaient théoriquement s’effondrer gravitationnellement sur elles-mêmes au point de devenir plus petites qu’un atome et même d’atteindre une densité infinie où l’espace, le temps et les lois connues de la physique s’anéantissent : autrement dit, une singularité de l’espace-temps.

C’est une prédiction de la théorie de la relativité générale classique et on aboutit alors à la naissance d’un trou noir stellaire. On ne peut s’empêcher de faire le rapprochement avec l’instabilité des atomes de la physique classique, avant la découverte de la mécanique quantique.

La théorie d’Einstein nous apprend aussi que le film du comportement de la géométrie de l’espace-temps et de la matière qui s’effondrent à l’intérieur d’une étoile qui va devenir un trou noir ressemble, en inversant le sens du temps dans ce film, à l’expansion de l’espace au moment du Big Bang. Peut-on donc transposer les raisonnements de la théorie de la gravitation quantique à boucles avec les trous noirs et au Big Bang lui-même et quelles modifications du scénario standard du Big Bang du début des années 1970 peut-on alors déduire dans le cadre d’une cosmologie quantique à boucles ?

D’où les questions que nous avons posées à Abhay Ashtekar et la traduction ci-dessous de ses réponses. Il nous faut toutefois ajouter quelques considérations de plus à ces prolégomènes.

Vers 1980, plusieurs auteurs (Brout, Englert, Starobinski, Guth, Linde) ont introduit, d’une façon ou d’une autre, une phase dite d’inflation primordiale qui se serait produite très peu de temps après le début de l’expansion du cosmos observable. Même si celui-ci était au début l’équivalent d’un ballon de rugby (la géométrie étant donc anisotrope car non comparable selon les directions du regard dans cet univers), bosselé (donc inhomogène en densité de matière et d’énergie) et en rotation (rien ne l’y oblige mais c’était peut-être le cas), un mécanisme d’accélération exponentiellement rapide, mais transitoire de l’expansion de l’espace, se serait manifesté…, le cosmos grandissant tellement qu’il nous parait aujourd’hui sans rotation (une patineuse qui étend ses bras en tournant sur elle-même ralentit), quasiment plat et en accord avec l’un des modèles cosmologiques homogènes et isotropes dit de Friedman-Robertson-Walker (FRW).

Il existe plusieurs causes possibles à ce phénomène, qui constituent une classe de théories dites inflationnaires en cosmologie. On peut donc se poser la question aussi de savoir ce qu’une théorie quantique de la gravitation pourrait nous dire au sujet de cette mystérieuse phase d’inflation que l’on introduit pour diverses raisons et qui a déjà conduit à quelques prédictions testables comme l’explique plus en détail cette vidéo de l’astrophysicien Patrick Peter.

Question.

 La théorie de la gravitation quantique à boucles peut nous permettre de comprendre les propriétés des trous noir , c’est-à-dire ce qui se passe quand une étoile devient un trou noir. Existe-t-il une sorte d’équation de Schrödinger de la gravitation dans cette théorie de sorte que les trous noirs seraient un peu au développement de la gravitation quantique ce que l’atome d’hydrogène a été à celui de la mécanique quantique ?

Il est en effet vrai qu’il y a une analogie étroite entre la physique atomique et la gravitation quantique à boucles. Dans le cas de la physique atomique, si je regarde l’écran en face de l’ordinateur  il semble être un objet complètement continu. Mais si je le place sous un microscope électronique, je verrai qu’il a une structure atomique, une structure discrète. De nos jours, la relativité générale nous dit que la géométrie de l’espace-temps est une entité physique. Elle peut agir sur la matière et la matière peut agir sur elle. Mais, comme la matière a une structure atomique, une question naturelle se pose, la géométrie a-t-elle une structure atomique ?

La gravitation quantique à boucles prend très au sérieux une leçon centrale de la relativité générale, à savoir que la géométrie de l’espace-temps n’est pas un fond, une scène sur laquelle les phénomènes se produisent mais est elle-même une entité physique ; par conséquent, nous nous attendons à ce que la nature quantique, la structure quantique de cette entité physique doivent se présenter sous la forme d’atomes de l’espace-temps lui-même. C’est ce qui distingue la gravitation quantique à boucles des autres approches en gravité quantique, autres approches qui tentent aussi d’unifier la relativité générale et la mécanique quantique.

Comme vous le dites, une autre question naturelle se pose, avons-nous une équation similaire à l’équation de Schrödinger et cela résout-il des problèmes tout comme la stabilité des atomes était un problème pour la mécanique quantique ?

La réponse aux deux interrogations est oui.

Il y a en effet des versions quantiques des équations d’Einstein qui ont été écrites en utilisant la gravitation quantique à boucles, au moyen de certaines variables que j’ai introduites pour décrire la relativité générale et les utiliser pour en obtenir une version en mécanique quantique. Par conséquent, nous avons des équations nouvelles.

Ces équations incorporent la structure atomique de l’espace-temps d’une façon fondamentale. Aujourd’hui, quand nous nous tournons vers des objets complexes comme les étoiles et les trous noirs, ce que nous faisons c’est en utiliser des versions simplifiées. Ces équations fondamentales sont comme l’équation de Schrödinger mais soumise à des approximations comme on en fait d’ailleurs par exemple pour décrire avec elle les molécules en chimie

Elles sont appelées des équations effectives, autrement dit ce sont des équations qui capturent l’essentiel de la structure atomique, de la structure quantique de la géométrie de l’espace-temps.

Ces équations mènent alors à la conclusion que le problème des singularités (comme celle au centre du plus simple des trous noirs, le trou noir de Schwarzschild et aussi la singularité au début de l’Univers prévue par la relativité générale, la singularité du Big Bang) est naturellement résolu car elles y sont naturellement absentes.

Autrement dit, le problème de ces pathologies des équations classiques d’Einstein est en fait éliminé par les équations de la gravitation quantique à boucles.

Question .

Comment peut-on tester les prédictions de la gravitation quantique à boucles et celles de la cosmologie quantique à boucles ?

Dans le cas de la cosmologie quantique, autrement dit dans le cas du Big Bang, l’on trouve des travaux plus détaillés en gravitation quantique à boucles que dans le cas des trous noirs. La raison en est qu’en cosmologie, on dispose de bien plus de symétries et, chaque fois qu’en physique il y a beaucoup de symétries, les équations se simplifient.

Dans le cas de la cosmologie quantique à boucles, en fait, on a un analogue de l’équation de Schrödinger et cette équation gouverne une fonction d’onde de l’Univers. On peut voir en utilisant l’état actuel de l’Univers décrit par cette fonction d’onde — un univers très homogène et isotropique — qu’en renversant l’évolution de cette fonction d’onde en remontant dans le temps vers le Big Bang, cette équation reste valable alors que les équations classiques d’Einstein de la relativité générale cessent d’être valables au début du Big Bang.

L’analogue de l’équation de Schrödinger pour la cosmologie quantique à boucles avec sa fonction d’onde de l’Univers s’applique toujours et nous dit que l’on peut continuer à faire évoluer l’espace-temps à travers la région qui était occupée par la singularité du Big Bang.

Toutes les quantités physiques restent alors finies, la courbure de l’espace reste finie, la densité de matière reste finie et on peut continuer plus loin en arrière dans le temps.

En ce qui concerne la question des tests observationnels, une question qui bien sûr est importante, l’Univers primitif constitue pour nous un excellent laboratoire pour tester ces équations. Maintenant, notre connaissance de l’Univers primitif vient principalement des propriétés du rayonnement du fond diffus cosmologique et la majorité des propriétés de ce rayonnement, les dernières ayant été découvertes grâce à la mission Planck, sont en accord avec les prédictions théoriques. Mais, de façon intéressante, il y a certaines anomalies, certaines petites caractéristiques, qui ne sont pas en accord avec le scénario standard de l’inflation cosmologique.

Ce qui pose naturellement la question de savoir si quelque chose comme la gravitation quantique à boucles, qui va au-delà de la théorie classique d’Einstein (et au-delà du régime où débute le scénario inflationnaire standard) peut résoudre le problème de ces anomalies dans le rayonnement fossile.

Cette question a été analysée en grands détails au cours des cinq dernières années et, en effet, un certain nombre de ces anomalies sont devenues moins problématiques. Plus précisément elles sont devenues statistiquement plus plausibles, de sorte que nous n’avons pas à supposer que nous vivons dans un Univers improbable.

Dans le cadre du scénario inflationnaire standard, rendre compte d’une anomalie n’est pas trop difficile mais, si on a plus de deux anomalies, alors cela signifierait que l’on vit dans univers exceptionnellement improbable. Mais, en gravitation quantique à boucles, le problème n’est pas aussi aigu de sorte que les prédictions théoriques et les observations sont en harmonie. C’est ce à quoi on devait s’attendre si nous ne vivons pas dans un Univers exceptionnel. Donc, cette diminution des tensions avec les anomalies est un bon signal.

Cela mène aussi à une prédiction. Il se trouve que le modèle cosmologique standard est basé sur 6 ou 7 paramètres dont l’un possède une valeur avec la plus grande incertitude. Techniquement ceci est appelé la profondeur optique [ndlr, la profondeur optique en astrophysique décrit la façon dont un milieu matériel absorbe partiellement ou totalement la lumière qui le traverse ].

La valeur de  la profondeur optique a changé quelque peu au cours des missions spatiales de Cobe à Planck en passant par WMap. Ce que nous avons trouvé est que la gravitation quantique à boucles donne une correction de 10 % à la prédiction du modèle de l’inflation du modèle cosmologique standard du Big Bang. Il y a maintenant des missions pour tester, mesurer la profondeur optique de façon indépendante des autres paramètres.

Il y a donc une prédiction et nous verrons si la cosmologie quantique à boucles est en accord ou pas avec cette prédiction.

C’est très excitant car, pour la première fois, quelque chose de très fondamental, des équations de la gravitation quantique, seront confrontées à des observations. Pour moi, c’est un grand plaisir de voir que nous sommes arrivés à un état de développement où la gravitation quantique n’est plus une théorie mathématique abstraite perchée au-dessus de tout, hors de portée des moyens expérimentaux technologiquement possibles, mais que nous pouvons maintenant la comparer aux observations.

Question

Einstein pensait qu’il devrait être possible non seulement d’unifier la force électromagnétique avec la gravitation avec une nouvelle généralisation de la géométrie de l’espace-temps courbe mais aussi déduire les particules de matière de cette géométrie. La gravitation quantique à boucles permet-elle de revisiter le programme d’Einstein en introduisant des effets de la géométrie quantique de l’espace-temps ?

Oui, en principe il est possible que même les particules élémentaires, les particules de matière, soient vraiment des excitations de la géométrie. C’était quelque chose qui avait été proposé par John Wheeler et il y a eu aussi des perspectives excitantes en gravitation quantique à boucles montrant que cela pourrait arriver via une application de la théorie des nœuds. Mais, actuellement, il n’y a vraiment pas d’indications sérieuses, il n’y a pas de calculs bien développés qui pourraient finalement déboucher sur une connexion de la géométrie quantique de la gravitation quantique à boucles avec les particules fondamentales de la physique.

Il n’existe en effet toujours pas à ce jour de voie que nous ne connaissions pour unifier les idées de la géométrie quantique de la gravitation quantique à boucles avec la physique des particules.

Donc, pour le moment, ce programme n’est pas accompli. C’est très différent de la situation avec le Big Bang et les trous noirs où se manifeste la géométrie de la gravitation quantique à boucles. Donc, c’est une frontière à explorer où il reste beaucoup de travail à faire pour les décennies à venir.

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La gravitation quantique selon Wheeler et DeWitt

Pour ceux, avec déjà un certain bagage en physique et mathématique, il est possible de compléter certaines des explications données par Abhay Ashtekar avec les commentaires ci-dessous

Le sujet de la gravitation quantique est extrêmement vaste et il faudrait probablement des centaines de pages pour lui rendre justice. Il est bien connu que l’application de la mécanique quantique aux équations de la relativité générale d’Einstein conduit à des divergences infinies lorsque l’on cherche à coupler le champ de gravitation à la matière. Il existe toutefois des situations où l’on peut faire des calculs approximatifs de gravitation quantique sans que des quantités infinies incontrôlables n’émergent. C’est le cas dans certains modèles de cosmologie simples décrits par ce que l’on appelle la gravitation quantique canonique, et introduits dans les années 1960 par John Wheeler et surtout Bryce DeWitt pour l’essentiel.

Pour faire court, on cherche à appliquer les règles de quantification standards dites canoniques aux équations d’Einstein, ce qui veut dire que l’on cherche à mettre ces dernières sous une forme dite « hamiltonienne » bien connue avec la mécanique analytique. Il faut pour cela introduire, comme pour la mécanique d’un système de particules, un espace de configuration et une fonction hamiltonienne H représentant en quelque sorte l’énergie totale du système champ de gravitation+matière (mais inutile de préciser vraiment ici ce qu’il faut entendre à ce sujet qui est en fait assez subtil et n’est pas nécessaire pour cet exposé).

De même qu’un point dans l’espace de configuration en mécanique analytique classique représente un ensemble de positions possibles pour des particules en mouvement sous l’action de forces, un point dans l’espace de configuration du champ de gravitation représentera un état possible de la géométrie de l’espace-temps courbé par la présence de matière, et plus généralement par la présence d’impulsions et d’énergies.

On a donné un nom à une construction basée sur cet espace de configurations de l’espace-temps : le super-espace (à ne pas confondre avec celui de la supergravité).

On peut alors construire une équation de Schrödinger avec une fonction d’onde dont le carré donne la probabilité de trouver la géométrie de l’espace-temps dans un état donné. C’est en fait  l’équation de Wheeler-DeWitt. Le problème est que, contrairement au cas avec N particules, la géométrie de l’espace-temps est décrite par un champ de tenseurs à 10 composantes défini en chaque point de l’espace-temps. Comme il y en a une infinité, on comprend aisément que la résolution d’une telle équation n’est pas chose facile. Cependant, si l’on fixe par avance une classe de géométries possibles ne dépendant que d’un petit nombre de paramètres, certains calculs sont alors faisables.

Cela revient à tronquer l’espace de configuration précédant en « gelant » des degrés de liberté pour ne plus garder qu’un mini super-espace.

Le cas le plus simple est celui où l’on prend les modèles cosmologiques homogènes et isotropes de Friedman-Robertson-Walker (FRW) avec, comme origine du champ de gravitation, le champ le plus simple que l’on puisse imaginer : un champ scalaire Φ décrit par une équation de Klein-Gordon avec un potentiel V(Φ). L’évolution dans le temps du champ de gravitation se réduit ici à un seul degré de liberté a (t), le facteur décrivant l’expansion de l’espace dans les modèles FRW en fonction du temps.

La fonction hamiltonienne du système prend alors une forme similaire à celle décrivant une particule avec deux coordonnées de position, ici a(t) et Φ(t), se déplaçant dans un potentiel compliqué. Les règles de quantification d’un tel système sont bien connues en mécanique ondulatoire et l’équation quantique décrivant ces modèles simples d’Univers n’est pas plus compliquée, mais pas moins que celles que l’on peut rencontrer en physique atomique et moléculaire.

Rappelons à ce propos que, dans le cadre de la relativité générale classique, les modèles de FRW sont problématiques, avec bien d’autres d’ailleurs, car l’on peut montrer que, lorsque t=0, la courbure de l’espace-temps devient infinie, la notion même d’espace-temps s’effondre, ce qui est une catastrophe car l’on ne peut alors plus rien faire. Le début de l’Univers, si cette notion même à un sens, est alors complètement hors de portée de la connaissance humaine. De même, une situation identique se produit lorsqu’une étoile s’effondre pour donner un trou noir en RG classique, une singularité de l’espace-temps se forme et les lois de la physique s’y brisent.

Or, ce n’est pas la première fois que la physique a été confrontée à ce genre de problème. Déjà, lors de la construction des premiers modèles d’atomes, l’électron tournant autour du noyau était en situation instable et devait finir par s’effondrer sur le noyau en créant là aussi une singularité, mais pas d’espace-temps. L’introduction de la mécanique quantique et de la mécanique ondulatoire avec une fonction d’onde, avait alors montré qu’il n’existait qu’une série d’états stationnaires discrets accessibles à l’électron, les fameux niveaux d’énergie de l’atome de Bohr. La fonction d’onde décrivant la probabilité de trouver l’électron dans une région de l’espace « étalait » cette même position en rendant l’effondrement précédent impossible.

John Wheeler et Bryce DeWitt avaient très clairement indiqué qu’un processus similaire devait se produire avec leur équation de Schrödinger de l’espace-temps. Les singularités en relativité générale seraient donc probablement « lissées » par le traitement quantique, stoppant ainsi leur formation.

Des résultats en ce sens avaient d’ailleurs été fournis dès la fin des années 1960 et surtout dans le cadre du modèle avec temps imaginaire de Hartle-Hawking au début des années 1980. Malheureusement, comme indiqué précédemment, à chaque fois il s’agissait d’une situation très particulière où l’on admettait que la géométrie de l’Univers ne pouvait pas beaucoup s’écarter d’une certaine forme d’homogénéité et d’isotropie permettant de simplifier considérablement les calculs. Cela n’est pas satisfaisant car de telles hypothèses, bien que justifiables par certains côtés, n’en sont pas moins des vœux pieux. La théorie devrait partir d’un espace-temps arbitraire, non prédéterminé en partie par avance, et ce sont les calculs qui fourniraient l’état de cet espace-temps.

Il faudrait pour cela résoudre l’équation de Wheeler-DeWitt de manière générale ou au mieux générique, mais comment s’y prendre ?

Une percée considérable s’est faite au milieu des années 1980 lorsque Abhay Ashtekar, qui avait été le post-doctorant du grand Roger Penrose, a introduit une formulation des équations d’Einstein dans l’espace de configuration de l’espace-temps simplifiant considérablement leur formulation hamiltonienne.

 En fait, il montrait, grâce aux variables dites depuis d’Ashtekar, que l’on se trouvait dans une situation formellement très proche de celle que l’on obtenait avec les équations de Yang-Mills utilisées pour décrire les forces autres que la gravité entre particules élémentaires, notamment celle de la QCD. Les techniques issues de cette théorie de jauge des interactions nucléaires fortes, la chromodynamique quantique, pouvaient alors être transposées.

C’est ce que lui et surtout Lee Smolin et Carlo Rovelli réussirent à faire. À défaut d’une solution générale de l’équation de WDW, ils purent trouver de grandes classes de solutions mais surtout préciser de façon rigoureuse l’espace des solutions de cette équation.

Comme toutes les équations de Schrödinger, les solutions de ces équations peuvent être rassemblées en un espace vectoriel abstrait ressemblant à l’espace habituel, il s’agit du célèbre espace de Hilbert. Une solution est alors décrite par un point dans cet espace repéré par un « vecteur position ».

Dans le langage de la mécanique quantique, les fonctions d’ondes correspondant à une géométrie particulière de l’espace-temps sont des vecteurs d’états. Le principe de superposition des états de la mécanique quantique implique alors que la géométrie de l’espace-temps puisse se trouver sous la forme d’une superposition d’états donnée par la somme vectorielle de ces vecteurs.

Le résultat le plus spectaculaire fut qu’il était alors possible de construire des opérateurs de surface et de volume, pour la géométrie de l’espace-temps, dont les spectres sont discrets !

Pour faire court, on cherche à appliquer les règles de quantification standards dites canoniques aux équations d’Einstein, ce qui veut dire que l’on cherche à mettre ces dernières sous une forme dite « hamiltonienne » bien connue en mécanique analytique. Il faut pour cela introduire, comme pour la mécanique d’un système de particules, un espace de configuration et une fonction hamiltonienne H représentant en quelque sorte l’énergie totale du système champ de gravitation+matière (mais inutile de préciser vraiment ce qu’il faut entendre à ce sujet qui est en fait assez subtil et n’est pas nécessaire pour cet exposé).

De même qu’un point dans l’espace de configuration en mécanique analytique classique représente un ensemble de positions possibles pour des particules en mouvement sous l’action de forces, un point dans l’espace de configuration du champ de gravitation représentera un état possible de la géométrie de l’espace-temps courbé par la présence de matière, et plus généralement d’impulsions et d’énergies.

On a donné un nom à une construction basée sur cet espace de configurations de l’espace-temps : le super-espace (à ne pas confondre avec celui de la supergravité).

On peut alors construire une équation de Schrödinger avec une fonction d’onde dont le carré donne la probabilité de trouver la géométrie de l’espace-temps dans un état donné. C’est l’équation de Wheeler-DeWitt. Le problème est que, contrairement au cas avec N particules, la géométrie de l’espace-temps est décrite par un champ de tenseur à 10 composantes défini en chaque point de l’espace-temps. Comme il y en a une infinité, on comprend aisément que la résolution d’une telle équation n’est pas chose facile. Cependant, si l’on fixe par avance une classe de géométries possibles ne dépendant que d’un petit nombre de paramètres, certains calculs sont alors faisables.

Cela revient à tronquer l’espace de configuration précédant en « gelant » des degrés de liberté pour ne plus garder qu’un mini super-espace.

Le cas le plus simple est celui où l’on prend les modèles cosmologiques homogènes et isotropes de Friedman-Robertson-Walker (FRW) avec, comme origine du champ de gravitation, le champ le plus simple que l’on puisse imaginer : un champ scalaire Φ décrit par une équation de Klein-Gordon avec un potentiel V(Φ). L’évolution dans le temps du champ de gravitation se réduit ici à un seul degré de liberté a(t), le facteur décrivant l’expansion de l’espace dans les modèles FRW en fonction du temps.

La fonction hamiltonienne du système prend alors une forme similaire à celle décrivant une particule avec deux coordonnées de position, ici a(t) et Φ(t), se déplaçant dans un potentiel compliqué. Les règles de quantification d’un tel système sont bien connues en mécanique ondulatoire et l’équation quantique décrivant ces modèles simples d’Univers n’est pas plus compliquée, mais pas moins que celles que l’on peut rencontrer en physique atomique et moléculaire.

Le problème de la singularité cosmologique initiale

Rappelons à ce propos que, dans le cadre de la relativité générale classique, les modèles de FRW sont problématiques, avec bien d’autres d’ailleurs, car l’on peut montrer que si, lorsque t=0, la courbure de l’espace-temps devient infinie, la notion même d’espace-temps s’effondre, ce qui est une catastrophe car l’on ne peut plus rien faire. Le début de l’Univers, si cette notion même à un sens, est alors complètement hors de portée de la connaissance humaine. De même, une situation identique se produit lorsqu’une étoile s’effondre pour donner un trou noir en RG classique, une singularité de l’espace-temps se forme et les lois de la physique s’y brisent.

Or, ce n’est pas la première fois que la physique a été confrontée à ce genre de problème. Déjà, lors de la construction des premiers modèles d’atomes, l’électron tournant autour du noyau était en situation instable et devait finir par s’effondrer sur le noyau en créant là aussi une singularité dans l’espace-temps. L’introduction de la mécanique quantique, et de la mécanique ondulatoire avec une fonction d’onde, avait alors montré qu’il n’existait qu’une série d’états stationnaires discrets accessibles à l’électron, les fameux niveaux d’énergie de l’atome de Bohr. La fonction d’onde décrivant la probabilité de trouver l’électron dans une région de l’espace « étalait » cette même position en rendant l’effondrement précédent impossible.

John Wheeler et Bryce DeWitt avaient très clairement indiqué qu’un processus similaire devait se produire avec leur équation de Schrödinger de l’espace-temps. Les singularités en relativité générale seraient donc probablement « lissées » par le traitement quantique, stoppant ainsi leur formation.

Des résultats en ce sens avaient d’ailleurs été fournis dès la fin des années 1960 et surtout dans le cadre du fameux modèle avec temps imaginaire de Hartle-Hawking au début des années 1980. Malheureusement, comme indiqué précédemment, à chaque fois il s’agissait d’une situation très particulière où l’on admettait que la géométrie de l’Univers ne pouvait pas beaucoup s’écarter d’une certaine forme d’homogénéité et d’isotropie permettant de simplifier considérablement les calculs. Cela n’est pas satisfaisant car de telles hypothèses, bien que justifiables par certains côtés, n’en sont pas moins des vœux pieux. La théorie devrait partir d’un espace-temps arbitraire, non prédéterminé en partie par avance, et ce sont les calculs qui fourniraient l’état de cet espace-temps.

Il faudrait pour cela résoudre l’équation de Wheeler-DeWitt de manière générale ou au mieux générique, mais comment s’y prendre ?

Une percée considérable s’est faite au milieu des années 1980 lorsque Abhay Ashtekar, qui avait été le post-doctorant du grand Roger Penrose, a introduit une formulation des équations d’Einstein dans l’espace de configuration de l’espace-temps simplifiant considérablement leur formulation hamiltonienne. 

En fait, il montrait, grâce aux variables dites depuis d’Ashtekar, que l’on se trouvait dans une situation formellement très proche de celle que l’on obtenait avec les équations de Yang-Mills utilisées pour décrire les forces autres que la gravité entre particules élémentaires, notamment celle de la QCD. Les techniques issues de cette théorie de jauge des interactions nucléaires fortes, la chromodynamique quantique, pouvaient alors être transposées.

C’est ce que lui et surtout Lee Smolin et Carlo Rovelli réussirent à faire. À défaut d’une solution générale de l’équation de WDW, ils purent trouver de grandes classes de solutions mais surtout préciser de façon rigoureuse l’espace des solutions de cette équation.

Comme toutes les équations de Schrödinger, les solutions de ces équations peuvent être rassemblées en un espace vectoriel abstrait ressemblant à l’espace habituel, il s’agit du célèbre espace de Hilbert. Une solution est alors décrite par un point dans cet espace repéré par un « vecteur position ».

Dans le langage de la mécanique quantique, les fonctions d’ondes correspondant à une géométrie particulière de l’espace-temps sont des vecteurs d’états. Le principe de superposition des états de la mécanique quantique implique alors que la géométrie de l’espace-temps puisse se trouver sous la forme d’une superposition d’états donnée par la somme vectorielle de ces vecteurs.

Le résultat le plus spectaculaire fut qu’il était alors possible de construire des opérateurs de surface et de volume pour la géométrie de l’espace-temps, dont les spectres sont discrets !

La gravitation quantique et le principe de correspondance de Bohr

On sait que, en mécanique quantique, les grandeurs comme l’énergie ou le moment cinétique sont donnés par des opérateurs. En agissant sur la fonction d’onde qui, mathématiquement, ressemble à la fonction décrivant une onde lumineuse, l’opérateur d’énergie extrait alors les différentes composantes du spectre composant cette onde. Dans le cas de l’atome d’hydrogène, cela donne des niveaux discrets d’énergie et des orbites caractérisées, elles aussi, par une série discrète de distances de l’électron par rapport au noyau.

La situation est vraiment très similaire car le principe de correspondance de Bohr établissant un pont entre la forme des équations quantiques et leurs limites en physique classique s’applique aussi dans le cas du spectre des aires et des volumes.

Selon ce principe notamment, au fur et à mesure que le nombre quantique caractérisant des orbites de plus en plus grandes augmente, la différence entre les niveaux d’énergie devient de plus en plus faible ainsi que les distances spatiales séparant les orbites. Le spectre discret devient continu et la physique quantique se raccroche à la physique classique. Ainsi, pour les mêmes raisons, pour des surfaces et des volumes de plus en plus grands, la notion d’espace-temps classique continu est retrouvée.

On trouve alors que l’on peut définir un opérateur de courbure pour l’espace-temps et un opérateur de « position » a(t) pour le facteur décrivant l’expansion des Univers de FRW. Contrairement aux résultats obtenus avant la LQG, le spectre de ces opérateurs est discret.

Magiquement, alors que le spectre du dernier opérateur possède la valeur 0 correspondant à un volume nul, celui de la courbure possède alors une borne maximale, la singularité de l’espace-temps est éliminée !

On peut alors prolonger sans aucun problème la structure de l’espace-temps avant ce qui correspond pour nous à un temps 0. Il y a alors un « avant le Big Bang ». Si l’on représente le facteur d’expansion de l’Univers au cours du temps, celui-ci effectue un mouvement rappelant celui d’une balle rebondissant éternellement de façon élastique. On parle d’ailleurs en anglais de « bouncing Univers » pour des théories de ce genre.

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